余弦定理的表达式是什么公式及推导过程

诗界网络 2025-11-20 21:33:10

余弦定理的表达式是什么公式及推导过程

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理。其表达式为\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)，\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\)，\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。

推导过程如下：

以\(\triangle ABC\)为例，设\(BC = a\)，\(AC = b\)，\(AB = c\)，\(C\)为\(a\)，\(b\)边的夹角。

过\(A\)作\(AD\perp BC\)于\(D\)，则在\(Rt\triangle ABD\)中，\(\cos B = \frac{BD}{c}\)，即\(BD = c\cos B\)；在\(Rt\triangle ACD\)中，\(\cos C = \frac{CD}{b}\)，即\(CD = b\cos C\)。

因为\(BC = BD + CD\)，(a = BD + CD = c\cos B + b\cos C\)。

两边同时平方得：\(a^2 = (c\cos B + b\cos C)^2 = c^2\cos^2 B + 2bc\cos B\cos C + b^2\cos^2 C\)。

又因为在\(\triangle ABC\)中，根据正弦定理\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)（\(R\)为三角形外接圆半径），可得\(a = 2R\sin A\)，\(b = 2R\sin B\)，\(c = 2R\sin C\)。

将其代入上式并化简可得：\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)。

同理可推导出\(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\)，\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)。

余弦定理在解三角形中有着广泛的应用，通过已知的边和角可以求出未知的边或角，为解决三角形相关问题提供了重要的工具。

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