指数函数求导公式

诗界网络 2025-11-20 19:04:19

指数函数求导公式

指数函数求导公式是微积分中的重要内容。对于指数函数\(y = a^x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)），其求导公式为\((a^x)^\prime = a^x \ln a\)。

我们来详细推导一下这个公式。设\(y = a^x\)，两边取对数可得\(\ln y = x \ln a\)。然后对两边关于\(x\)求导，根据复合函数求导法则，左边\((\ln y)^\prime = \frac{1}{y} \cdot y^\prime\)，右边\((x \ln a)^\prime = \ln a\)。所以有\(\frac{1}{y} \cdot y^\prime = \ln a\)，即\(y^\prime = y \ln a\)，将\(y = a^x\)代回，就得到了\((a^x)^\prime = a^x \ln a\)。

这个公式在解决很多与指数函数相关的问题中都非常有用，比如求指数函数的切线斜率、研究指数函数的单调性等。当\(a = e\)时，\((e^x)^\prime = e^x\)，这是一个非常特殊且重要的情况。

指数函数求导公式是微积分中的基础且重要的公式，掌握它对于进一步学习微积分和解决相关问题具有重要意义。

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